Uvod v trigonometrijo

Poglej tudi: Geometrija uvod

Trigonometrija, kot že ime pove, je vse v trikotnikih.

Natančneje, trigonometrija gre za pravokotne trikotnike, kjer je eden od notranjih kotov 90 °. Trigonometrija je sistem, ki nam pomaga ugotoviti manjkajoče ali neznane stranske dolžine ali kote v trikotniku.

Na naši strani je več o trikotnikih Poligoni če boste morali temeljito preučiti osnove, preden boste prebrali tukaj.



Pravokotni trikotniki: opomnik

Pravokotni trikotnik ima en sam kot. Po definiciji to pomeni, da vse stranice ne morejo biti enako dolge. Tipičen pravokotni trikotnik je prikazan spodaj.

Pomembni izrazi za pravokotne trikotnike


Pravokotni trikotnik, ki prikazuje nasprotno, sosednje in hipotenuzo
  • The pravi kot je označeno z okencem v kotu.

  • Drugi kot, ki ga (običajno) poznamo, je označen z θ (theta) .

  • Stran nasproti pravemu kotu, ki je najdaljša stran, se imenuje hipotenuza .

  • Stran nasproti θ se imenuje nasprotno .

  • Stran ob θ, ki ni hipotenuza, se imenuje sosednji .

Pitagorin izrek proti trigonometriji


Pitagora je bil grški filozof, ki je živel pred več kot 2500 leti. Pripisujejo mu številna pomembna matematična in znanstvena odkritja, med katerimi je verjetno najpomembnejše postalo znano kot Pitagorin izrek.

Velja pomembno pravilo samo na pravokotne trikotnike . To piše 'Kvadrat na hipotenuzi je enak vsoti kvadratov na drugih dveh straneh.'

To se sliši precej zapleteno, vendar je pravzaprav precej preprost koncept, ko ga vidimo v diagramu:

formule površin geometrije in prostornine
Pitagora

Pitagorin izrek pravi:

dodva+ bdva= cdva

Če torej poznamo dolžino dveh stranic trikotnika in moramo izračunati tretjo, lahko uporabimo Pitagorin izrek.

Če pa poznamo samo eno stransko dolžino in enega od notranjih kotov, potem Pitagora sam po sebi ni koristen in moramo uporabiti trigonometrijo.


Predstavljamo sinus, kosinus in tangento

V trigonometriji obstajajo tri osnovne funkcije, od katerih je vsaka ena stran pravokotnega trikotnika, deljena z drugo.

Tri funkcije so:

Ime Okrajšava Razmerje do stranic trikotnika
Sinus Brez Sin (θ) = Nasprotno / hipotenuza
Cosine Nekaj Cos (θ) = sosednja / hipotenuza
Tangenta Torej Tan (θ) = nasproti / sosednje


Izračun sinusa, kosinusa in tangente

Morda se vam bo zdelo koristno, če se sinusov, kosinusov in tangent spomnite kot SOH CAH TOA.

Zapomniti si trigonometrične funkcije je lahko za začetek težko in zmedeno. Tudi SOH CAH TOA je lahko težaven. Poskusite si sestaviti smešno mnemotehniko, s katero si boste lažje zapomnili. Vsako skupino treh črk imejte v istem vrstnem redu.

Na primer, TOA SOH CAH bi lahko bil ' T on ALI ld TO arheolog S ob ALI n H je C oves TO nd H ob ’.

Vrhunski nasvet!


Zaradi razmerij med njimi lahko Tan θ izračunamo tudi kot:
Sin θ / Cos θ.

To pomeni da:

  • Sin θ = Cos θ × Tan θ in
  • Cos θ = Sin θ / Tan θ.

Trigonometrija v krogu

Za več informacij o krogih ali hitrem osvežitvi glejte našo stran Krogi in ukrivljene oblike .

Pri obravnavi trikotnikov smo omejeni na kote, manjše od 90 °. Vendar pa je trigonometrija enako uporabna za vse kote, od 0 do 360 °. Da bi razumeli, kako trigonometrične funkcije delujejo s koti nad 90 °, je koristno razmisliti o trikotnikih, zgrajenih znotraj kroga.

Dekartove koordinate kroga.

Razmislite o krogu, razdeljenem na štiri kvadrante.

Običajno se središče kroga šteje za kartezijansko koordinato (0,0). To pomeni, da je vrednost x 0 in vrednost y 0. Za več informacij glejte našo stran na strani Dekartove koordinate .

z uporabo dnevnika, ki beleži, kako dobro

Karkoli levo od središča ima vrednost x manj kot 0 , ali je negativno, medtem ko ima kar koli na desni pozitivno vrednost.

Podobno ima vse pod središčno točko vrednost y manj kot 0 , ali je negativna in katera koli točka na vrhu kroga ima pozitivno vrednost y.


Uporaba kroga s trigonometričnimi funkcijami za kote, večje od 90 °.

Diagram jaz prikazuje, kaj se zgodi, če narišemo polmer od središča kroga v desno vzdolž osi x (pravimo, da je to v pozitivni smeri).

Nato zavrtimo polmer v nasprotni smeri urnega kazalca skozi kot theta θ. Tako nastane pravokotni trikotnik.

Brez θ = nasproti (rdeča črta)
hipotenuza (modra črta)

Cos θ = sosednje (zelena črta)
hipotenuza (modra črta)

V Diagram yl , radij smo zasukali še v nasprotni smeri urnega kazalca, mimo navpičnice (os y) v naslednji kvadrant. Tu je θ tupi kot med 90 ° in 180 °. Referenčni kot alfa α je enak 180 ° - θ in je akutni kot znotraj pravokotnega trikotnika.

Sin θ = Sin α = nasproti (rdeča črta)
hipotenuza (modra črta)

Modra in rdeča črta sta pozitivni, zato je sin θ pozitivna.

Cos θ = −Cos α = sosednje (zelena črta)
hipotenuza (modra črta)

Cos θ je negativen, saj je zelena črta negativna (leži vzdolž osi x levo od izhodišča (0,0), prav tako v negativnem delu osi x).

V Diagram iii se je polmer zasukal še v nasprotni smeri urnega kazalca v naslednji kvadrant, tako da je vrednost θ med 180 ° in 270 °. Vse zelene, rdeče in modre črte imajo negativne vrednosti in α = θ - 180 °. Sinusi in kosinusi imajo torej pozitivno vrednost.

Diagram iv prikazuje zadnji kvadrant. Vrednost θ je med 270 ° in 360 °, zelena črta je pozitivna, rdeča in modra črta pa negativna. Sin θ je torej pozitiven, Cos θ pa negativen. α = 360 ° - θ.


Enoten krog

The 'Krog enote' je poseben primer kroga, prikazanega na zgornjih diagramih. Krog enote ima polmer 1.

Pri delu z enotnim krogom lahko neposredno merimo cos, sin in tan:

Sinus, kosinus in tangenta - krog enote

Grafi sinusov, kosinusov in tangent

Razmerje med kotom in grehom ali cos lahko narišemo v obliki grafa:

  • y = sin (θ)
  • y = cos (θ)
Sine, graf Cosine. www.skillsyouneed.com/num/trigonometry.html

Vidite lahko, da kadar je θ 0, potem velja tudi sinus. To je smiselno, če pogledate zgornji diagram kroga enot. Ko je θ = 0, sosednja in hipotenuza ležita vzdolž pozitivne osi x in rdeča črta, ki prikazuje vrednost sin θ, izgine (trikotnika ni).

Kosinusni graf je enake oblike kot sinus, vendar ima vrednost 1, kadar je θ = 0. Če znova pogledamo zgornji krog, ko je θ = 0, sosednja in hipotenuza ležita vzdolž pozitivne osi x in imata enako vrednost, torej sosednja / hipotenuza = 1.

Ciklična narava sinusnih in kosinusnih grafov je izjemno pomembna v znanosti, naravi in ​​tehniki. Primeri vključujejo električne aplikacije (izmenični tok), zvočne in radijske valove, preprosto harmonsko gibanje (kot je nihajno nihalo), smer satelitov ali naraščanje in padanje plime.

The amplitudo cikličnega valovnega vzorca je vrednost 'vrha' na grafu, to je razdalja od osi x do največje ali najmanjše vrednosti. V zgornjih grafih Sine in Cosine ima amplituda vrednost 1. V aplikacijah, kot sta zvok ali električni tok, se amplituda spreminja, odvisno od jakosti zvoka ali jakosti toka. Tudi amplituda plime in oseke se spreminja, odvisno od lege lune in njenega 'vleka' na zemlji.

kako umiriti živce pred javnim nastopanjem

Značilnosti tangentnega grafa (tan θ) so precej različne. Tangentni graf nima amplitudo (značilnosti, podobne valovom), ker nima največjih ali najmanjših vrednosti vrhov. Spremeni se od −∞ do + ∞ (negativna in pozitivna neskončnost), ki prečka 0 na vsakih 180 °:

Graf tangentnih črt.

V neskončnosti (pozitivni ali negativni) naj bi bil nedoločeno. Ta graf lahko bolje razumemo, če upoštevamo enačbo tan θ = sin θ / cos θ. Kadar je sin θ nič, mora biti tudi tan θ nič. Nasprotno pa, kadar je cos θ nič, potem imenovalec v enačbi postane nič. Vse, kar je deljeno z nič, ima vrednost neskončnosti, zato imajo vrednosti θ, ki imajo kosinus nič, tudi tangens neskončnosti na grafu. Neskončnost nima natančne vrednosti, zato postajajo črte na tangentnem grafu vedno bolj navpične, ko se os y povečuje na večje in večje vrednosti. Črte se vedno bolj približujejo navpičnim črtam na grafu za določene vrednosti θ, na primer pri 90 °. Vsaka od teh navpičnih črt se imenuje asimptota .

Inverzno na sinus, kosinus in tangento

Izračunate lahko tudi obratno funkcijo sin, cos in tan, kar pomeni 1, deljeno s to funkcijo. Označeni so kot sin / cos / tan -1. To vam omogoča, da določite kot, če imate greh, kos ali porjavelost.

Z drugimi besedami:

  • Greh (90) = 1
  • Greh - 1 (1) = 90 °

Trigonometrija in kalkulatorji


Znanstveni kalkulatorji imajo funkcije sin, cos in tan, pa tudi inverzne funkcije. Vredno si je vzeti nekaj minut, da ugotovite, kako deluje vaš kalkulator, saj boste tako prihranili ure urejanja, ko ga potrebujete.


Drugi trikotniki in trigonometrija

Trigonometrija deluje tudi za druge trikotnike, le ne na povsem enak način. Namesto tega obstajata dve pravili, ki temeljita na takem trikotniku:

Trikotniki v trigonometriji

Pravilo Sine je:

do/brez A=b/brez B=c/brez C

Pravilo Cosine je:

kritično poslušanje je, ko poslušalci ________.

cdva= adva+ bdva- 2ab cos (C)


Zakaj potrebujem trigonometrijo?

To je razumno vprašanje in odgovor je vsaj deloma zato, ker tisti, ki v mnogih državah odločajo o učnem načrtu za matematiko, menijo, da bi morali vedeti zanj, in to iz zelo dobrega razloga.

Trigonometrija naj bi bila najpomembnejše matematično razmerje, kar so jih kdaj odkrili. Trikotniki so ena najpreprostejših oblik, ki jih najdemo v naravi, vendar je njihova matematika ključnega pomena, zlasti tam, kjer so potrebne natančne meritve razdalje. Ko začnemo razmišljati o aplikacijah, pri katerih so natančne razdalje pomembne, je očitno, da jih je na ducate, vključno z navigacijo v pomorskih in letalskih sistemih, astronomijo, satelitskimi sistemi, geografskimi raziskavami in kartografijo (zemljevidi), arhitekturo in konstrukcijskim inženirstvom, grafičnim oblikovanjem in računalniško ustvarjene podobe.

Mnogi od njih se zanašajo na merilno tehniko, znano kot triangulacija , ki uporablja koncepte trigonometrije.

Primer: Trigonometrija in navigacija

Ko plujete po morju ali križarite po morju, kjer pridete, vplivajo:

  • Smer, v kateri krmilite;
  • Hitrost, s katero potujete v tej smeri (tj. Hitrost motorja ali vetra); in
  • Smer in hitrost plime.

Lahko se vozite v eno smer, toda plima lahko prihaja z ene strani in vas potisne na drugo. Trigonometrijo potrebujete, da ugotovite, kako daleč boste potovali in v kateri natančni smeri.

S pomočjo trigonometrije določite svojo smer vožnje.

Povsem upravičeno boste ugotovili, da to ni tako preprosto kot vse to, kajti dejanska smer vožnje je odvisna od hitrosti plime in vaše hitrosti, verjetno pa lahko vidite, zakaj je trigonometrija lahko pomembna!


Delal primer

Odpravljeni ste na enodnevno jadranje in vam ni vseeno, kje boste končali. Začeli ste proti vzhodu in načrtujete eno uro jadranja s potovalno hitrostjo 10 km / h. Plima je proti severu in teče s hitrostjo 5 km / h. V katero smer boste na koncu potovali?

  1. Najprej nariši svoj trikotnik in označite stranice. Odpravite se proti vzhodu, zato naj bo dno trikotnika dolžine 10 km. Plima vas bo potisnila proti severu, zato naredimo to desno stran. In želite vedeti, v katero smer boste na koncu šli, torej to je kot θ.

    Primer trigonometrije
  2. Imate nasprotno in sosednje, kar pomeni, da morate uporabiti tangento. Tan θ = Nasprotno / sosednje = 5/10 = 0,5.

  3. Zdaj je čas, da uporabimo funkcijo inverse tan. Inverzni tan 0,5 znaša 26,6 °. Z drugimi besedami, tan 26,6 = 0,5.

  4. Kompas Smer (vaš 'smer' v navigaciji) se meri od severa , ki je na vašem kompasu 0 °. Vaš odgovor iz (3) pa se meri od 90 ° ali vzhodno. Zato boste morali svoj odgovor odšteti od 90 °, da boste dobili odgovor: Potujete v smeri (smer) 63,4 °, ki je med severovzhodom (45 °) in vzhodom severovzhodom (67,5 °).

Zakaj je to pomembno? Seveda boste morali vedeti, v katero smer ste potovali, da boste lahko odpluli domov!

V resničnem življenju se boste morali tudi spomniti, da se je takrat plima morda spremenila ...


Zaključek

Trigonometrija morda nima toliko vsakodnevnih aplikacij, vendar vam pomaga, da lažje delate s trikotniki. Je koristen dodatek k geometriji in dejanskim meritvam, zato je vredno razviti razumevanje osnov, tudi če nikoli ne želite napredovati.

Nadaljevati:
Geometrija
Uvod v algebro